2022年MBA管理类联考199管综数学第12题真题及答案解析 - 知乎

　　甲乙两支足球队进行比赛，比分为4:2，且在比赛过程中乙队没有领先过，则不同的进球顺序有多少（）种。

　　A.6 B.8 C.9 D.10 E.12

　　解析：

　　乙队没有领先过，这句话要正确理解，什么比分的情况下，一个球队处于领先？

　　一个球队领先过，意思是当这个球队进球后，当时的累计得分超过另外一个对手的得分，比如1:0，2:1，3:2等。如果乙队进了第一球，说明乙队曾经领先过，不符合题意。因此，进第一球的一定是甲队。

　　这么看来，甲乙两队合计进了6球，把每个进球视作一个空位，合计6个空位，甲队4个进球和乙队2个进球，放置在这6个空位上，就有不同可能性的进球顺序，同时也决定了哪个队曾经领先。

　　为了方便数学描述，不妨设甲队进一球的事件为A，乙队进一球的事件为B。那么甲乙两队比分为4:2，就是4个A和2个B的组合结果，比如ABAABA、BABAAA等，合计有 或者种不同的进球顺序。

　　比赛过程中乙队没有领先过，正向考虑，是4个A和2个B的组合中，从左边第一个位置开始逐个往右，A的累计数量大于或等于B的累计数量。反向考虑，什么时候乙队领先？就是从左往右，B的累计数量大于或等于A的累计数量。

　　解题方法？

　　【方法一】正向计算。

　　4个A和2个B的组合，从左逐个往右，什么时候A的累计数量大于或等于B的累计数量？

　　首先，第一个位置必须是A。否则乙队进了第一球就领先了。

　　第二个位置，可以是A，可以是B。

　　第二个位置如果是A，那么确保甲队永远领先，后面4个位置中，2个B在任何位置都满足要求，此后的进球顺序有种。

　　第二个位置如果是B，那么第三个位置必须是A，否则乙队将在第三个进球位置开始领先。这样，前三个进球顺序就是ABA，之后，B队的进球在后三个位置中任何一个都行，此后的进球顺序有种。

　　所以，甲队保持领先的顺序合计种。

　　故，选项C正确。

　　【方法二】反向计算。

　　4个A和2个B的组合，从左逐个往右，什么时候B的累计数量大于或等于A的累计数量？

　　当第一个位置是B的时候，此时乙队领先，此后剩下的一个B在5个位置中的任何一个，都属于此类情况，合计有种顺序。

　　当第一个位置是A的时候，第二个、第三个位置必须是B，才能满足乙队领先，此时只有1种顺序。

　　所以，乙队保持领先的顺序有种。

　　乙队两个进球在6个进球位置上的可能性有种。

　　所以，乙队从未领先的顺序有15-6=9种。

　　故，选项C正确。

　　【方法三】列举法

　　前两局甲队胜：AA-AABB、BBAA、ABAB、ABBA、BABA、BAAB

　　前三局甲队2:1：ABA:-AAB、ABA、BAA

　　合计有9种可能性。

　　故，选项C正确。

　　【总结】本题考察排列组合里的分类计算原理，难度较高。解题关键一要读懂题目要求，正确理解什么比分的情况下，一个球队处于领先。关键二是将比分领先的情景转化为可计算的数学语言。关键三是合理使用分步分类原理进行计数计算。